@ Yannick86
Ich konnte das Problem mittlerweile lösen. Vielleicht hilft dir, wie ich mein Problem habe lösen können:
1) Du musst dich von iCloud abmelden, d.h. sowohl auf dem Mac, als auch auf der Website etc. Dabei wird ggf. all der alte Kram gelöscht, was aber nicht schlimm ist, da du dich ja mit deiner neuen ID dann wieder einlogen kannst. Wenn du dich abgemeldet hast, dann kannst du dich entsprechend mit deinen neuen / geänderten Daten einloggen.
2) Auf deinem iPhone musst du unter Einstellungen -> Mail, Kontakt, Konten.... den iCloud-Account löschen und neu einrichten. Bei mir hat iOS zwar immer wieder nach dem Passwort gefragt, aber nach einigen Eingaben meines alten (oder neuen? - an diesen Punkt erinnere ich mich gerade leider nicht mehr) hat er dieses akzeptiert und ich konnte den Account löschen. Bei der Neueinrichtung kannst du natürlich dann problemlos deine neue ID angeben.
3) Denk dran, dass du - wenn du deine Apple-ID geändert hast, diese auch in allen anderen Bereichen ändern musst, d.h. App-Store, iTunes-Store etc.. Wenn du dort irgendwo noch angemeldet bist, musst du dich dort auch erst wieder ausloggen, um dich mit deiner neuen ID anzumelden bzw. anmelden zu können.
Ich hoffe, das hilft dir etwas weiter, denn mit einer bloßen Synchronisation - wie ich am Anfang erwartete - klappt das alles nicht. Ist insg. zwar etwas aufwendig, aber wenn man weiß, was man tun muss, geht es. Das rumprobieren kostet nur entsprechend Zeit